Dois eventos A e B são independentes quando P(A∩B)=P(A)P(B). Quando as probabilidades condicionais estão definidas, isso equivale a P(A|B)=P(A) e P(B|A)=P(B). A independência é uma propriedade do modelo ou distribuição, não uma impressão visual.
1. Defina eventos no mesmo experimento
Escreva universo, momento e condição de A e B. Eventos de unidades diferentes podem exigir um espaço produto. Nomes vagos impedem decidir o que é interseção.
Confirme que as probabilidades marginais pertencem à mesma população.
2. Calcule as marginais
Exemplo hipotético: suponha P(A)=0,40 e P(B)=0,50. O produto é 0,20. Esse é o valor esperado para a interseção se a hipótese de independência for válida.
Multiplicar marginais não prova a hipótese; cria a referência a ser comparada.
3. Obtenha a probabilidade conjunta
Calcule P(A∩B) por dados, estrutura do modelo ou contagem adequada. Se o valor for 0,20 no exemplo, existe igualdade numérica. Ainda assim, em uma amostra, pode ser necessário considerar variação e arredondamento.
Não fabrique a conjunta pelo produto e depois use o mesmo produto como “teste”.
4. Verifique condicionais
Se P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B). No exemplo, 0,20/0,50=0,40, igual a P(A). Faça a verificação simétrica quando P(A)>0.
O artigo sobre probabilidade condicional detalha denominadores.
5. Diferencie exclusividade
Eventos exclusivos positivos têm interseção zero, enquanto o produto das marginais é positivo; portanto, não são independentes. Somente casos degenerados com probabilidade zero podem ser simultaneamente exclusivos e independentes.
6. Considere a origem das probabilidades
Em dados, independência populacional não é comprovada por uma tabela pequena. Um teste estatístico pode avaliar compatibilidade sob premissas, mas não elimina viés de seleção ou variáveis omitidas. Em modelo, independência pode ser uma suposição explícita.
7. Monte uma tabela de contingência
Separe os casos em A∩B, A∩Bᶜ, Aᶜ∩B e Aᶜ∩Bᶜ. As margens da tabela fornecem P(A) e P(B); a célula conjunta fornece P(A∩B). A estrutura impede que numeradores venham de populações diferentes.
Confira se todas as quatro células são não negativas e se a soma recupera o total válido. Dados ausentes precisam de tratamento declarado.
8. Defina tolerância antes de observar
Em probabilidades arredondadas, igualdade exata pode falhar por centésimos. Defina uma tolerância coerente com a precisão da fonte antes do teste. Em amostra, diferença pequena também pode surgir por variação aleatória e deve ser avaliada com método estatístico apropriado.
Não amplie a tolerância retrospectivamente apenas para declarar independência.
9. Teste subgrupos com cautela
Uma relação agregada pode mudar dentro de subgrupos, e independência em cada estrato não garante a mesma leitura no total. Variáveis de composição alteram marginais. Qualquer estratificação precisa ter justificativa e tamanho suficiente.
O teste descreve o universo especificado, não todos os contextos possíveis.
Checklist final
- eventos definidos;
- espaço comum;
- marginais calculadas separadamente;
- conjunta obtida por fonte independente;
- produto comparado;
- condicionais verificadas;
- exclusividade descartada;
- precisão e amostra registradas;
- nenhuma certeza extrapolada.
Consulte o glossário para interseção e marginal.
Conclusão
Independência exige uma igualdade entre distribuição conjunta e marginais. O checklist impede raciocínio circular e separa suposição de evidência. Mesmo quando a igualdade aparece, seu alcance depende do modelo e da amostra.